上場している株式は、証券取引所を通じて取引されていますので、証券会社が介入しています。
ですから、「証券会社」と「相続する株式を発行している株式会社」の両方で手続きをすることになります。

1. 証券会社との名義変更手続き

証券会社は、顧客ごとに取引口座というものを開設していますので、取引口座の名義変更手続きを行うことになります。

これらの書類を証券会社に提出すれば、相続した上場株式の名義変更は完了となります。

2. 相続した株式を発行している株式会社との名義変更手続き

相続した株式を発行した株式会社の株主名簿の名義変更手続きをすることになります。通常、この手続きに関しては取引のある証券会社が代行して手配してくれます。
その際、相続人は「相続人全員の同意書」（名義書換を代行している信託銀行所定の用紙）を用意します。

非上場会社の株式の名義変更はそれぞれ会社によって行う手続きが異なりますので、発行した株式会社に直接問い合わせるのが確実です。